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阳光下的数学数学论战(三

日期:2018-05-21 22:05 人气:

  欧拉在微积分方面,用形式化的函数理论,把微积分从几何学的束缚中彻底解放出来,使其建立在算术和代数的基础上,从而为完整实数系统作为微积分学的基本论证打开了通道,把微积分“带大成人”。

  欧拉的著作,包含了很多开创性的成果,并且在表述上思路清晰,条理性强,富有启发性。他的行文优美流畅,淋漓尽致地表露了自己的思想和发现。有人赞誉欧拉是“数学界的莎士比亚”。

  波罗的海岸边的哥尼斯堡,是一座古老的城市,它风景秀丽,气候宜人,建筑优美,风俗淳朴。一条河流,穿过市区,形成两个小岛。哥尼斯堡人利用这个天赐的自然条件,把两个小岛打扮成美丽的花园,为城市又添一景。

  在微分方程上,欧拉深入考虑了一般常系数线性微分方程的求解方法,开创了这类方程的现代解法,极大地丰富了诞生不久的微分方程理论。幸运飞艇官网他研究了微分方程的幂级数解法,解决了那些不能用通常积分求解的微分方程。

  他研究了二元函数的极值,给出了全微分的可积条件,引出了很多函数的无穷幂级数和无穷乘积的展式。

  在力学中,他继承和发展了丹尼尔的流体力学成就,进一步奠定了流体力学的理论基础,并以流体力学和船舶力学相结合的论文《论船舶的左右及前后摇晃》于1759年获巴黎科学院奖金。

  这一天,哥尼斯堡花园依然游人如潮,他们欢声笑语,使小岛呈现勃勃生机。很多人还是在桥上走来走去,似乎非要找到正确的答案不可。桥上,有一位从彼得堡来的独眼青年,向热衷于七桥问题的人们郑重宣布:“一个人要一次过7座桥,而每座只走一次,这是不可能的。”

  从此,一对对情侣手挽手、肩并肩去那美丽的小岛,促膝谈心,窃窃私语,柔情万千;一队队老者去那芳香的花园,欣赏风景,锻炼身体,延年益寿。

  欧拉认为一个科学家“如果是做出了给科学宝库增加财富的发现,而不能坦率阐述那些引导他做出发现的思想,那么他就没有给科学做出足够的工作。”

  他首先把导数归作为微分学的基本概念,提出了二阶偏导数的演算,并给出了关于微分后的结果与微分次序无关的理论。他给出了用累计积分计算二重积分的方法,并讨论了二重积分的变量替换问题。

  有人可能认为,欧拉成果卓越,著述如林,肯定是条件优越,并且牺牲了生活的所有其他乐趣而换来的。

  在初等数学领域,欧拉的《无穷小分析引论》是数学史上第一本沟通微积分与初等代数的杰作;《对代数的完整介绍》系统总结了代数学理论,标志初等代数发展史的基本结束。

  在应用数学方面,欧拉以微积分为主要数学方法,对力学、光学、声学、热学以及多种工程技术进行广泛的研究,取得了重要的成就。

  在微积分方面,继牛顿和莱布尼茨提出微积分后,出现了许多数学成果,但联系不紧,有待整理。欧拉通过《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等著作,把前人的成果加以总结定型,并注入自己的见解,构成了18世纪微积分的主要内容。

  他提出一个表示三角函数与指数函数间关系的著名的欧拉公式。指出了如何利用点变函数去计算实积分值。他是复变函数论的先驱者,复变函数论在数学及流体力学中有广泛的应用。

  从此,哥尼斯堡七桥问题传开了,吸引了无数的游客。他们一方面来欣赏游玩,一方面想碰碰自己的运气,亲自走一走,希望找到答案。他们在7座桥上走过来,又走过去,日复一日,年复一年,都失望而归。

  其实不然。欧拉并没有像牛顿、莱布尼茨那样终身未婚,把所有的时间都用在科学研究上。相反,他结了婚,并且有13个孩子,尽量帮助妻子减轻负担,关心家庭,关心儿女,也和孩子们做游戏,也给孩子们讲故事,他的许多不朽著作都是在膝上坐着孩子、身上背着孩子的情况下写出来的。

  欧拉的一生,获得的成果众多,涉猎的范围广泛,包括:几何、代数、数论、分析、微分方程、变分法、力学、声学、光学、热学、天文学、弹道学、航海学、建筑学等等。他是复变函数论的先驱者,变分法的奠基人,理论流体力学的创始人。

  欧拉是数学上最多产的科学家,他一生中共发表论著500多种,加上他生前没有发表和出版的手稿,多达800种以上。欧拉逝世后,数学史家把他的著作编成全集出版,竟达72卷。

  当欧拉得知七桥问题时,也产生了极大的兴趣。他想,既然那么多人都走不通,是不是不可能存在那样的走法呢?于是他用“穷举法”检查所有的路线,说明他的设想是正确的。